Soal dan Pembahasan Persamaan Linear Tiga Variabel

1. Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut:
5x - 3y + 2z = 3
8x - 5y + 6z = 7
3x + 4y - 3z = 15

Pembahasan ...

5x - 3y + 2z = 3 .....(1)
8x - 5y + 6z = 7 .....(2)
3x + 4y - 3z = 15 .....(3)
Langkah 1 :
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
5x - 3y + 2z = 3 |x3| ⇔ 15x - 9y + 6z = 9
8x - 5y + 6z = 7 |x1| ⇔ 8x - 5y + 6z = 7
_________________ _
7x - 4y = 2 .....(4)
Langkah 2 :
Eliminasi persamaan (1) dan (3)
5x - 3y + 2z = 3 |x3| ⇔ 15x - 9y + 6z = 9
3x + 4y - 3z = 15 |x2| ⇔ 6x + 8y - 6z = 30
_________________ _
21x - y = 39 .....(5)
Langkah 3 :
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
7x - 4y = 3 |x3| ⇔ 21x - 12y = 6
21x - y = 39 |x1| ⇔ 21x - y = 39
______________ _
-11y = -33
y = 3
Langkah 4 :
Substitusi y = 3 ke persamaan (4)
⇔ 7x - 4y = 2
⇔ 7x - 4(3)= 2
⇔ 7x - 12 = 2
⇔ 7x = 2 + 12
⇔ 7x = 14
⇔ x = 2
Langkah 5 :
Substitusi x =2 dan y = 3 pada persamaan(1)
⇔ 5x - 3y + 2z = 3
⇔ 5(2) - 3(3) + 2z = 3
⇔ 10 - 9 + 2z = 3
⇔ 2z = 2
⇔ z = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 1)}

2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode substitusi:
   x  +   y + z = -6
   x   – 2y + z = 3
 -2x +   y + z = 9

Pembahasan ...

x + y + z = -6 .....(1)
x – 2y + z = 3 .....(2)
-2x + y + z = 9 .....(3)
Langkah 1 : Ubah persamaan (1) menjadi :
x + y + z = -6 = 28 ⇔ z = -x - y - 6 .....(4)
Langkah 2 : Substitusi persamaan(4) kedalam persamaan (2)
⇔ x – 2y + z = 3
⇔ x – 2y + (-x - y - 6) = 3
⇔ -3y - 6 = 3
⇔ -3y = 9
⇔ y = -3
Langkah 3 : Substitusi persamaan(4) kedalam persamaan (3)
⇔ -2x + y + z = 9
⇔ -2x + y + (-x - y - 6) = 9
⇔ -2x + y -x - y - 6 = 9
⇔ -3x - 6 = 9
⇔ -3x = 15
⇔ x = -5
Langkah 4 : Masukkan nila x dan y yang diperoleh ke persamaan(1)
⇔ x + y + z = -6
⇔ -5 - 3 + z = -6
⇔ -8 + z = -6
⇔ z = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-5,-3,2)}

3. Pak budi memiliki toko kelontong yang menjual campuran beras A, beras B dan beras C yang dijual dengan klasifikasi berikut :
Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual seharga Rp19.700,00.
Campuran 2 kg beras A, 1 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp14.000.
Campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C dijual seharga Rp17.200,00.
Hitunglah harga tiap kg beras A, B, dan C ?

Pembahasan ...

Misal :
a = harga beras per kg beras A
b = harga beras per kg beras B
c = harga beras per kg beras C
Langkah 1: Buat model matematikanya
3a + 2b + 2c = 19.700 .....(1)
2a + b + 2c = 14.000 .....(2)
2a + 3b + c = 17.200 .....(3)
Langkah 2: Eliminasi persamaan(1) dengan (2)
3a + 2b + 2c = 19.700
2a + b + 2c = 14.000
_____________________ _
a + b = 5.700 .....(4)
Langkah 3: Eliminasi persamaan(1) dengan (3)
3a + 2b + 2c = 19.700 |x1| ⇔ 3a + 2b + 2c = 19.700
2a + 3b + c = 17.200 |x2| ⇔ 4a + 6b + 2c = 34.400
_____________________ _
-a - 4b = 14.700 .....(5)
Langkah 4 : Eliminasi persamaan(4) dengan (5)
a + b = 5.700
-a - 4b = 14.700
________________ +
-3b = -9.000
b = 3.000
Langkah 5 : Substitusi nilai b pada persamaan (4)
⇔ a + b = 5.700
⇔ a + 3.000 = 5.700
⇔ a = 5.700 - 3.000
⇔ a = 2.700
Langkah 6 : Substitusi nilai a dan b pada persamaan(2)
⇔ 2a + b + 2c = 14.000
⇔ 2(2700) + 3000 + 2c = 14.000
⇔ 5400 + 3000 + 2c = 14.000
⇔ 8400 + 2c = 14.000
⇔ 2c = 14.000 - 8.400
⇔ 2c = 5.600
⇔ c = 2.800
Dengan demikian dapat kita simpulkan :
- harga per kg beras a = Rp 2.700
- harga per kg beras b = Rp 3.000
- harga per kg beras c = Rp 2.800

4. Pada suatu hari, tiga sahabat yang bernama Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku. Mereka membeli buku tulis, pensil dan penghapus. Hasil belanja mereka di toko buku adalah sebagai berikut :
Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus seharga Rp 4.700
Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus seharga Rp 4.300
Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus seharga Rp7.100
Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus ?

Pembahasan ...

Misal :
x = Harga untuk sebuah buku tulis
b = Harga untuk sebuah pensil
c = Harga untuk sebuah penghapus
Langkah 1: Buat model matematikanya
2x + y + z = 4.700 .....(1)
x + 2y + z = 4.300 .....(2)
3x + 2b + z = 7.100 .....(3)
Langkah 2: Eliminasi persamaan(1) dengan (2)
2x + y + z = 4.700
x + 2y + z = 4.300
_____________________ _
x - y = 400 .....(4)
Langkah3: Eliminasi persamaan(2) dengan (3)
x + 2y + z = 4.300
3x + 2b + z = 7.100
_____________________ _
⇔ -2x = -2.800
⇔ x = 1400
Langkah 4: Substitusi nilai x ke persamaan(4)
⇔ x - y = 400
⇔ 1400 - y = 400
⇔ y = 1000
Langkah 5: Substitusi nilai x,y ke persamaan(1)
⇔ 2x + y + z = 4.700
⇔ 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700
⇔ 2.800 + 1.000 + z = 4.700
⇔ 3.800 + z = 4.700
⇔ z = 900
Dengan demikian dapat diketahui :
- Harga sebuah buku tulis adalah Rp1.400,
- Harga sebuah pensil adalah Rp 1.000,
- Harga sebuah penghapus adalah Rp 900,

5. Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode eliminasi dan substitusi ?

x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4

Pembahasan ...

x + y - z = -3 ....(1)
x + 2y + z = 7 ....(2)
2x + y + z = 4 ....(3)
Langkah 1 : Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
________________ +
2x + 3y = 4 ....(4)
Langkah 2 : Eliminasi persamaan (1) dan (3)
x + y - z = -3
2x + y + z = 4
________________ +
3x + 2y = 1 ....(5)
Langkah 3 : Eliminasi persamaan (4) dan (5)
2x + 3y = 4 |x3| ⇔ 6x + 9y = 12
3x + 2y = 1 |x2| ⇔ 6x + 4y = 2
____________ _
5y = 10
y = 10/5
y = 2
Langkah 4 : Substitusi y = 2 ke persamaan (4)
⇔ 2x + 3y = 4
⇔ 2x + 3(2) = 4
⇔ 2x + 6 = 4
⇔ 2x = 4 - 6
⇔ 2x = -2
⇔ x = -1
Langkah 5 : Substitusi x = -1 dan y = 2 pada persamaan(1)
⇔ x + y - z = -3
⇔ -1 + 2 - z = -3
⇔ 1 - z = -3
⇔ - z = -3 - 1
⇔ - z = -4
⇔ z = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 2, 4)}